A második világháború során szüleivel Németországban, majd Svédországban élt. 1946-ban tértek haza. 15 évesen kezdett vívni egy iskolai tanfolyamon. 1957-től az Újpesti Dózsa versenyzője lett. A miskolci egyetemi évei alatt a Miskolci EAFC-ban sportolt, ezt követően Budapestre került, és rövid ideig a Vasasba, majd az OSC-ba igazolt.
Tőr-és párbajtőrvívásban egyaránt versenyzett, 1962-től 1979-ig szerepelt mindkét fegyvernem magyar válogatottjában, de kiemelkedő eredményeit párbajtőrvívásban érte el. Közel két évtizeden keresztül jelentős része volt az akkoriban a világ egyik legjobb csapatának tartott magyar párbajtőr-válogatott sikereiben. A magyar csapattal 1964-től három egymást követő alkalommal nyert olimpiai bajnoki címet, és 1968-ban az egyéni versenyt is megnyerte, így máig ő minden idők egyik legeredményesebb párbajtőrözője. A vívó világbajnokságon kilenc érmet – köztük három aranyérmet – nyert, valamennyit a magyar csapat tagjaként. A válogatottságtól az 1980. évi olimpia előtt vonult vissza, az aktív sportolást 1980-ban fejezte be.
1968-ban a Budapesti Műszaki Egyetemen építőmérnöki, 1976-ban a Testnevelési Főiskolán vívó szakedzői, majd 1985-ben vívó mesteredzői oklevelet szerzett. A mérnöki diploma megszerzése után a Villamosenergia-ipari Kutató Intézet hőtechnikai főosztályán dolgozott. 1979-től 1980-ig a Magyar Vívószövetség főtitkára, majd 1988-ig a magyar vívóválogatott szövetségi kapitánya volt. 1988-ban külföldre távozott, Olaszországban telepedett le, és Vercelliben az AC Pro Vercelli egyesület vívóedzője lett. Tanítványai közül Maurizio Randazzo olimpiai bajnoki címet, háromszor világbajnoki címet, Elisa Uga olimpiai ezüstérmet és Európa-bajnoki címet szerzett. 2001-ben hazatért, és a Budapesti Honvéd–LNX vezetőedzője, így többek között Nagy Tímea, Kulcsár Krisztián és Boczkó Gábor mestere lett. Irányította az öttusázó Balogh Gábor vívóedzéseit is. Később a Vasas edzője lett. Ő volt a mestere Szász Emese olimpiai bajnok párbajtőrvívónak, aki 2016-ban nyert olimpiát egyéni párbajtőrvívásban.
2005-től a Nemzet Sportolóinak delegáltjaként a Magyar Olimpiai Bizottság tagja, majd elnökségi tagja lett. 2009-ben újra elnökségi tagnak választották.
2005 decemberében a párbajtőr szakág szövetségi kapitányának nevezték ki. Posztján 2008-ban megerősítették. 2012 februárjában lemondott a párbajtőr szakág szövetségi kapitányi pozíciójáról, mivel a Magyar Vívószövetség nem jelölte őt MOB-tagnak.[1]
Ő volt a mestere Szász Emese olimpiai bajnok párbajtőrvívónak, aki 2016-ban olimpiát nyert egyéni párbajtőrvívásban.
Kulcsár Győző 2018. szeptember 19-én, 77 éves korában hunyt el.
